2023是不是素数

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2023是不是素数，秒答

hjz713

是
别问我怎么知道的，数学老师让我们算过

hjz713

作者：曾加
链接：https://www.zhihu.com/question/576064575/answer/2827487123
来源：知乎
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转载一个


毫无疑问，2023 是一个非常有意思的数。
首先， 2023 显然不是质数，判断仅需 1 秒。最快的判别方法是：先把 2023 按照千分位分割，分为 2 和 023，然后相减，23 - 2 = 21， 21 是 7 的倍数，所以 2023 是 7 的倍数。

这种「每 3 位一分割，然后隔项求和，再相减」的判断方式，适用于判断所有 7，11， 13 的倍数。

证明也很容易：注意到 1001 = 7 × 11 × 13， 所以 1000a 和 -a 关于 7，11，13 同余。

比较有意思的是，2023 不仅不是质数，甚至都没有 20 以上的质因数。

我们将 2023 分解质因数，得到 2023 = 7 × 17 × 17

容易发现，2023 的数字和恰好是 7，而其数字的平方和恰好是 17。

这就有点意思了。请看：

一个数的「数字和」以及「数字的平方和」都是它的约数，这样的数常见吗？

其实还蛮常见啦，这样的四位数就有 68 个，下一个满足条件的数是 2040；

如果要求这两个数都是质数呢？

稍微罕见一些了，这样的四位数共有 10 个，下一个是 2100，但再下一个就是 8030 了。

更进一步地，如果一个数「数字和」是最小的质因数，「数字的平方和」是最大的质因数，这样的数多吗？

这就很罕见了，四位数仅此 1 个，五位数没有，下一个满足条件的数要到 106811 了；

花 5 分钟验证下，我们发现 1 亿以下满足条件的数似乎只有 28 个：

133, 803, 2023, 106811, 383177, 1071949, 1342027, 2025343, 2569757, 2911123, 3341831, 3993883, 6285901, 10860071, 11194319, 13270013, 21736109, 21871477, 22159451, 22421587, 26011229, 27600257, 31174391, 32656681, 34880611, 40435193, 41755573, 53738911

能不能再给力点：如果一个数的质因数仅有其「数字和」及「数字的平方和」，这样的数常见吗？

非常罕见，我心算了下，只发现了 4 个：

• 133 = 7 × 19，数字和是 7 ，数字的平方和是 19；
• 803 = 11 × 73 ，数字和是 11 ，数字的平方和是 73；
• 2023 = 7 × 17 × 17，数字和是 7  ，数字的平方和是 17；
• 6285901 = 31 × 31 × 31 × 211，数字和是 31  ，数字的平方和是 211；
  

剩下的心算不动了，我只好调用 python，在 10^30 以内，一共有 17 个：

133, 803, 2023, 6285901, 150533923, 4541519347, 4672989447913, 73699768202743, 6201280122491203, 781110572405633563, 1219636365296013079, 12165759651238626341, 22188359846850884583101, 100670311682210459233003, 10944226672701046457066569, 698236155982099756399641113, 775829043881419596371444129

• 150533923 = 31^4 * 163
• 4541519347 = 43^3 * 239^2
• 4672989447913 = 73 * 503^4
• 73699768202743 = 73^6 * 487
• 6201280122491203 = 43 * 229^6
• 781110572405633563 = 67^7 * 359^2
• 1219636365296013079  = 79 * 499^6
• 12165759651238626341 = 83^3 * 463^5
• 22188359846850884583101 = 107^4 * 701^5
• 100670311682210459233003 = 67^7 * 359^4
• 10944226672701046457066569 = 109^4 * 653^6
• 698236155982099756399641113 = 137^7 * 937^4
• 775829043881419596371444129 = 131^3 * 859^7
  ……
  

密度低于 lg(n)，可以说是非常非常稀有了！

谁说 2023 很普通！