[巨型深度学习基础教程]第一期-数学基础.导数

YFSafe · 发表于 2024-7-19 23:31:56

本帖最后由 YFSafe 于 2024-7-19 23:37 编辑

开新坑了，之前写内核教程的同仁也快回来了，先把这个坑给写完吧，我的计划是至少写半年，因为写的真的多，而且我的时间也少

这个账号很长一段时间应该都会给我管了，我先写着吧

导数

一·引入物理中的平均与瞬时速度
我们令s=s(t)表示一个质点的运动规律，那么一个物体由t0时刻运行到t0+Δt时刻，他的路程改变量是多少？
很容易对吧
Δs=s(t0+Δt) - s(t0)
是不是就搞定了？
平均速度也有了
Δv = Δs / Δt = s(t0+Δt)-s(t0) / Δt

在大部分的时候，平均速度是能够满足需求的，但是物体并不是都做匀速直线运动的，所以我们需要衡量一个物体的瞬时速度
怎么求？

我们定义，物体在t0时刻的瞬时速度，就是物体在t0到t0+Δt这段时间内当Δt趋近于0时的极限

平均速度在Δt趋近于0转换为瞬时速度，瞬时速度衡量物体在一瞬间运动快慢

二·导数

(这里被desmos折腾了30分钟，最终决定截一个函数图像，然后手动画图）
设一个函数y=f(x)在x=x0及附近有定义，那么当函数自变量有变化量Δx的时候，因变量也有改变量Δy
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

在图片上是这么体现的

两个改变量Δy/Δx的比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率

那么类比上面，当Δy/Δx有极限的时候，则称函数y=f(x)在x0处可导，将Δy/Δx的极限称作y=f(x)在x0处的导数
那么就可以给出导数的定义式了

由导数的定义，可以得到求f(x)在x0处导数的方法
①求改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
②作比Δy/Δx
③求极限

例题:求y=x2在x=1处的导数
解：x0=1
Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-1=1+2Δx+(Δx)2 -1
= 2Δx+(Δx)2

Δy/Δx = Δx(2+Δx)/Δx
= (2+Δx)

lim Δx->0 (2+Δx) = 2 [将Δx视作0]

练习题:求下列函数的导数(x0=3)
(1)y=5x+3 (2)y=2x2-1 (3)y=x2
(4)y=7x+9 (5)y=x3-2 (6)y=3
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非常好，你已经掌握了导数的基本概念。

3.导函数
那么如果函数在开区间(a,b)内每一点都可导，那么是不是在(a,b)这个区间里，任意一个点都会有一个导数？
是不是构成了一个新函数？
我们称这个函数为导函数

导函数的定义式跟上面的导数很相似，只不过是x的普适性，不只对于一个x0的特殊点，而是对于所有的x
那么求函数的导数，是不是可以先求出函数的导函数，再把x带入了呢

例题:求y=x2的导数
解：f'(x)=2x
将x=3带入
f(x0)=2*3=6

其实是很相似的

4.导数的几何意义

继续看这张图

里面有点P P1 P2对不对

对于每个P点，连接原始点A作直线，都是函数的一条割线
这个割线与x轴是不是延长了有一个夹角，我们暂且称作θ角
发现，tan(θ),是不是就是对边比斜边，也就是Δy/Δx了

发现把P往下拖的时候，Δx是不是越来越小
当Δx->0的时候，极限思想，是不是P和A融为一体了，那还有什么割线啊，不就是切线了吗？？？
所以，得出当Δx->0时，f'(x0)=tan(θ)，也就是x0处切线的斜率嘛
由定义，是不是有
tan(θ)=f'(x0)=y-y0/x-x0
乘过来，不就是
f'(x0)(x-x0)=y-y0
嘛

这个东西，我们把它叫做函数的切线方程

例题：已知曲线y=1/3x3+4/3
(1)求曲线C在横坐标为2点处切线方程
(2)第一问的切线与曲线y有没有其他交点
解：
(1)将x=2带入y y=4
切点P(2,4)
f'(x)=x2=4
切线方程 y-4=4(x-2)
4x-y-4=0

(2)
由
y=4x-4
y=1/3x3+4/3
得(x-2)(x2+2x-8)=0
x1=2 x2=-4
公共点坐标(2,4)或(-4,-20)
得另一公共点坐标为(-4,-20)

end. 2024/7/19 23:30

写在后面：这篇文章写了快两个小时，主要是前面想用desmos来作图像，发现太麻烦了
加上自己也不熟练latex，所以写的慢
参考书籍：自编教材-深度学习中的数学基础