[巨型深度学习基础教程]第三期-数学基础.导数相关定理

YFSafe

罗尔中值定理
1.定义：如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在两端点的函数值相等( f(a)=f(b) )。那么至少存在一点σ∈(a,b)使f'(σ)=0

几何意义：在闭区间[a,b]上有一条连续曲线y=f(x)，且过曲线上每一点（端点除外）都可以做一条切线，当曲线两端的纵坐标相等时，那么在曲线上至少能找到一点(σ,f(σ)),使曲线在该点的切线平行于X轴


拉格朗日中值定理
1.定义：如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在两端点的函数值相等( f(a)=f(b) )。那么至少存在一点σ∈(a,b)使
f'(σ) = f(b) - f(a) / b-a
几何意义：导数的几何意义时函数在一点切线斜率。f(b)-f(a)/b-a，表示AB弦的斜率。所以他的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续曲线，且过该曲线上每一点（端点除外）都可以做一条切线，那么在曲线上至少能找到一点M(σ,f(σ)),使曲线过M的切线与弦AB平行（斜率相等）


习题一：当x>1 证明不等式e^x>e*x成立
解：
要证明当 x>1 时不等式
e^x > e \cdot xe^x>e⋅x 成立，可以利用罗尔定理（Rolle's Theorem）进行证明。
首先，考虑函数 f(x) = e^x - exf(x)=e^x−ex。我们需要证明在区间(1,∞) 上，存在某个 c \in (1, x)c∈(1,x) 使得 f'(c) = 0f′(c)=0。
计算f′(x)： f′(x)=e^x−e
现在我们验证在(1, \infty)(1,∞) 上，f′(x)>0。
因为 x > 1x>1，所以
e^x > ee^x>e。因此，f′(x)=e^x−e>0
这表明在区间(1, \infty)(1,∞) 上，f'(x) > 0f′(x)>0，即函数f(x)f(x) 在该区间上是严格单调递增的。
根据罗尔定理，如果一个函数在某个开区间内可导、连续，并且在两个端点处取相同的函数值，则在这个开区间内至少存在一个点使得导数为零。在我们的情况下，f(x) 在 (1,∞) 上满足这些条件，因此存在某个c∈(1,x) 使得 f′(c)=0。
具体到我们的不等式e^x > e \cdot xe^x>e⋅x，我们可以利用f(x) = e^x - exf(x)=e^x−ex，并且f′(c)=e^c−e=0。
因为 f′(c)=e^c−e=0，即e^c = ee^c=e，由于 c>1，所以 e^c > ee^c>e。因此，我们得到
e^x - ex > 0e^x−ex>0，即e^x > exe^x>ex，也就是e^x>e⋅x。
因此，根据罗尔定理，当 x>1 时，不等式e^x > e \cdot xe^x>e⋅x 成立。


习题二：当x>0 证明x/1+x<ln(1+x)<x


拓展：柯西中值定理
1.如果函数y=f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且对任意x∈(a,b)均有F'(x)≠0
那么在(a,b)内至少有一点σ，使
f'(σ) / F'(σ) = f(b) - f(a) / F(b) - F(a)
成立


洛必达法则
如果当x->a或x->∞，两函数f(x)与F(x)均趋近于0或∞,则图中极限一（别问为什么不写，因为不好表示）可能存在，也可能不存在，把这种极限称作未定式（00形/∞∞形）
给出一个定理（其实有两个，但是另一个可以自行推广），能够对此类极限方便的求值

定理一：(x->a时 00形未定式）
设：当x->a时f(x)和F(x)都趋近于0
在a的某去心邻域内，f'(x)和F'(x)都存在且F'(x)不等于0


那么，图中等式一成立
且当极限三为无穷大时，极限二也为无穷大


在一定条件下，通过对分子分母分别求导再求极限的方法来求未定式的值，称作洛必达法则
（关于洛必达法则，这个法则的“作者”洛必达其实是个富公子，这条定理实际上是他买的，没有记错是买的他老师的，他其实不是作者：）


让我们用一道例题来讲解：


例题一：求lim(x->1)  x^3 - 3x + 2 / x^3 - x^2 - x + 1
解：观察分子分母，不难发现是00未定式
原式 = lim(x->1) 3x^2 - 3 / 3x^2 - 2x = lim(x->1) 6x / 6x-2 = 6 / 4 = 3 / 2


当一阶导数无法满足需求，可以反复对式求导，直到分子分母不是未定式。如 lim(x->1) 6x / 6x - 2




泰勒展开
太难写了，我直接用图片吧

Andy

写的可以啊，我这个菜鸡都看懂了罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，泰勒展开我的了解还止步于背公式，洛必达法则倒是学过，但没认真学，忘得差不多，本人不才也没看懂（

YFSafe

Andy 发表于 2024-7-25 11:03
写的可以啊，我这个菜鸡都看懂了罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，泰勒展开我的了解还止步于背公式，洛必达 ...

感谢支持，晚上应该会更新不定积分，可以来看一下