[巨型深度学习基础教程]第三期-数学基础.不定积分

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不定积分



我们知道 描述一个变速运动物体速度的函数是v(t)，而由导数一章中瞬时速度的例子我们又知道v(t)是由状态函数s(t)求导得来的
v(t)=s'(t)     【b.①】


有的时候，我们会解决一个相反的问题：知道导函数v(t)如何求s(t)?


要解决这个问题，就需要用到本讲的知识：不定积分。在正式开始前，让我们给式b.①中的几个函数起名


我们将v(t)称作导函数，将被导函数s(t)称作原函数


接下来就可以给出不定积分的定义：
我们将知道导函数f(x)    求原函数F(x)的过程叫做求函数f(x)的不定积分
写成符号表达式是这样的：


F(x) = ∫ f(x) dx

注：通俗一些来讲，求原函数就是找一个函数，使它求导后等于导函数
让我们通过几道例题来了解如何求不定积分。


例一：求函数y=f(x)=2x的原函数
解：
F(x) = ∫ 2x dx
=x ^ 2


??是不是很疑惑？怎么做到一下子看出原函数的？
其实很简单，我们观察一下式子，再回想一下之前在导数一章学过的求导法则，就会发现一条法则是可以与导函数对应的。
(x^n)' = n * x^n-1
我们将2x与上式右边的函数进行格式对应
2x = n * x ^ n-1

不难发现n=2
再将n=2代入法则中左边的函数，是不是就可以得出原函数是x^2?
将上面的思路进行梳理，就可以得出求不定积分的大概思想
①观察式子
②选择合适的求导法则
③运用待定系数思想将左右式对齐
④得出原函数

这是一道基础题，是不是很简单？但是大部分的题目导函数还会包括加减乘除，以及待定系数之后对不上号的疑难杂症。接下来我们用一道例题来讲解如何应对。


例二：求函数f(x)=x-1的原函数
解：
F(x) = ∫ f(x) dx
=∫ x-1 dx
= x^2 / 2 -x + C
注：此处+c不可省去。因为在求导过程中，常数项（+C）会默认消去。所以我们会发现形如 f(x)=x^2 f(x)=x^2 + 1 f(x)=x^2 + 2
等等的函数求导后的结果都是f'(x)=2x 所以在求原函数的时候一定不要忘记+C！

观察上面的题目不难发现，如果硬套(x^n)' = n * x^n-1的法则，我们会发现解出的n带入之后不成立
我们知道x^2的导函数是2x 又知道导函数是x，那么我们可以转换一下，把x2的导函数除以2，看起来是这样的
(x^2 / 2)' = 2x / 2 = x
那么就可以得出x的原函数：x^2 / 2
对于一，同理 我们可以找到法则
(nx)' = n 得出原函数是x
∴x-1的原函数是x^2/2 - x +C


分部积分 与 换元积分法

换元积分
换元积分法是一个非常重要的积分技巧，特别适用于处理复杂的积分问题。它的基本思想是通过将积分变量替换成另一种变量，使得积分变得更加容易计算。下面是换元积分法的基本步骤

基本步骤

• 选择合适的替换变量：
  
  • 找到积分中出现的复杂部分，选择一个新变量来代替这个部分。通常，选择的变量u 应该使得积分表达式变得更简单。
    
• 计算导数：
  
  • 计算替换变量 u 对原变量 x 的导数，即du=d(u) / dx​⋅dx。这样你可以将 dx 变换成dudu 的形式。
    
• 重新写积分表达式：
  
  • 将原积分中的xx 替换为=u，并用du 替代dx。这样，积分就变成了一个关于uu 的新积分。
    
• 进行积分：
  
  • 在新的变量 uu 下进行积分，这通常会比原积分简单。
    
• 将结果替换回原变量：
  
  • 最后，将 u 替换回原变量x 的表达式，得到最终的结果。
    

让我们通过一个具体的例子来演示如何使用换元积分法。
例一：计算积分∫xcos(x2)dx
步骤 1：选择替换变量
我们可以选择 u=x*2。这样，
du = 2x \, dxdu=2x * dx，即 dx=du / 2x。
步骤 2：重新写积分表达式
用 u 替代x^2x2，并用du 替代
2x \, dx2x * dx，我们得到： ∫xcos(x2)dx=∫xcos(u)⋅du/2x​
注意到
xx 和
2x2 在分子和分母中约去，得到：∫xcos(u)⋅du/2x=∫1/2 ​cos(u) du
步骤 3：进行积分
我们现在只需要对1 / 2​cos(u) 积分： ∫1/2cos(u)du=1/2​sin(u)+C
步骤 4：将
uu 替换回 x
我们最初选择 u = x^2u=x2，所以： \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C1/2 ​sin(u)+C=1/2 ​sin(x2)+C
最终答案：∫xcos(x2)dx=1 / 2 sin(x2)+C



分部积分

由前面的求导法则
(uv)' = v'u + uv'
移项
uv' = (uv)' - vu'
两边积分，∫ uv' dx = uv - ∫ vu' dx 得到
∫ u dv = uv - ∫ v du
上式也被称作分部积分公式


例一：求∫x cosx dx
解：
①设x为u，cosx为v
②将uv带入公式
∫x dcosx = xcosx - ∫ cosx dx


Attention！！！你可能疑惑d这个算子符号后面不应该跟x吗？
实际上，d 后可以跟任何函数，它与被积函数的关系是：
①当d后函数要变成被积函数时，要求导=》∫x dcosx = -∫sinx * x dx
②当被积函数中要变成d 后面的时候，求积分。=》-∫sinx * x dx=∫x dcosx
这一点 在分部积分和换元积分中很重要

③观察①式发现
xcosx-∫cosx dx = ∫x dcosx = -∫xsinx dx
这与我们要求的∫xcosx dx不同，因为-∫xsinx dx ≠ ∫xcosx dx
所以我们要凑出我们的目标式，即使分部积分公式左边结果为目标式
那么如何使∫udv=∫xcosx dx呢？
将∫xcosx dx转换为 ∫x dsinx ,对应∫udv


这时我们将v设为sinx
∫xdsinx = xsinx - ∫sinx dx = xsinx + cosx
因为∫x dsinx = ∫xcosx dx
∴∫xcosxdx = xsinx + cosx


注：上方斜体部分可以在熟练之后省去，在最开始的时候，就直接将∫xcosxdx转换为∫xdsinx，就可以直接设x为u，sinx为v，带入计算即可


end.
2024/7/29 12:38