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[原创] [巨型深度学习基础教程]第三期-数学基础.不定积分

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发表于 2024-7-29 12:38:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 YFSafe 于 2024-7-29 12:40 编辑

不定积分



我们知道 描述一个变速运动物体速度的函数是v(t),而由导数一章中瞬时速度的例子我们又知道v(t)是由状态函数s(t)求导得来的
v(t)=s'(t)     【b.①】


有的时候,我们会解决一个相反的问题:知道导函数v(t)如何求s(t)?


要解决这个问题,就需要用到本讲的知识:不定积分。在正式开始前,让我们给式b.①中的几个函数起名


我们将v(t)称作导函数,将被导函数s(t)称作原函数


接下来就可以给出不定积分的定义:
我们将知道导函数f(x)    求原函数F(x)的过程叫做求函数f(x)的不定积分
写成符号表达式是这样的:


F(x) = ∫ f(x) dx

注:通俗一些来讲,求原函数就是找一个函数,使它求导后等于导函数
让我们通过几道例题来了解如何求不定积分。


例一:求函数y=f(x)=2x的原函数
解:
F(x) = ∫ 2x dx
=x ^ 2


??是不是很疑惑?怎么做到一下子看出原函数的?
其实很简单,我们观察一下式子,再回想一下之前在导数一章学过的求导法则,就会发现一条法则是可以与导函数对应的。
(x^n)' = n * x^n-1
我们将2x与上式右边的函数进行格式对应
2x = n * x ^ n-1

不难发现n=2
再将n=2代入法则中左边的函数,是不是就可以得出原函数是x^2?
将上面的思路进行梳理,就可以得出求不定积分的大概思想
①观察式子
②选择合适的求导法则
③运用待定系数思想将左右式对齐
④得出原函数

这是一道基础题,是不是很简单?但是大部分的题目导函数还会包括加减乘除,以及待定系数之后对不上号的疑难杂症。接下来我们用一道例题来讲解如何应对。


例二:求函数f(x)=x-1的原函数
解:
F(x) = ∫ f(x) dx
=∫ x-1 dx
= x^2 / 2 -x + C
注:此处+c不可省去。因为在求导过程中,常数项(+C)会默认消去。所以我们会发现形如 f(x)=x^2 f(x)=x^2 + 1 f(x)=x^2 + 2
等等的函数求导后的结果都是f'(x)=2x 所以在求原函数的时候一定不要忘记+C!

观察上面的题目不难发现,如果硬套(x^n)' = n * x^n-1的法则,我们会发现解出的n带入之后不成立
我们知道x^2的导函数是2x 又知道导函数是x,那么我们可以转换一下,把x2的导函数除以2,看起来是这样的
(x^2 / 2)' = 2x / 2 = x
那么就可以得出x的原函数:x^2 / 2
对于一,同理 我们可以找到法则
(nx)' = n 得出原函数是x
∴x-1的原函数是x^2/2 - x +C


分部积分 与 换元积分法

换元积分
换元积分法是一个非常重要的积分技巧,特别适用于处理复杂的积分问题。它的基本思想是通过将积分变量替换成另一种变量,使得积分变得更加容易计算。下面是换元积分法的基本步骤

基本步骤
  • 选择合适的替换变量
    • 找到积分中出现的复杂部分,选择一个新变量来代替这个部分。通常,选择的变量u 应该使得积分表达式变得更简单。
  • 计算导数
    • 计算替换变量 u 对原变量 x 的导数,即du=d(u) / dx​⋅dx。这样你可以将 dx 变换成dudu 的形式。
  • 重新写积分表达式
    • 将原积分中的xx 替换为=u,并用du 替代dx。这样,积分就变成了一个关于uu 的新积分。
  • 进行积分
    • 在新的变量 uu 下进行积分,这通常会比原积分简单。
  • 将结果替换回原变量
    • 最后,将 u 替换回原变量x 的表达式,得到最终的结果。
让我们通过一个具体的例子来演示如何使用换元积分法。
例一:计算积分∫xcos(x2)dx
步骤 1:选择替换变量
我们可以选择 u=x*2。这样,
du = 2x \, dxdu=2x * dx,即 dx=du / 2x。

步骤 2:重新写积分表达式
用 u 替代x^2x2,并用du 替代
2x \, dx2x * dx,我们得到: ∫xcos(x2)dx=∫xcos(u)⋅du/2x​

注意到
xx 和
2x2 在分子和分母中约去,得到:∫xcos(u)⋅du/2x=∫1/2 ​cos(u) du

步骤 3:进行积分
我们现在只需要对1 / 2​cos(u) 积分: ∫1/2cos(u)du=1/2​sin(u)+C
步骤 4:将
uu 替换回 x

我们最初选择 u = x^2u=x2,所以: \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C1/2 ​sin(u)+C=1/2 ​sin(x2)+C
最终答案:∫xcos(x2)dx=1 / 2 sin(x2)+C



分部积分

由前面的求导法则
(uv)' = v'u + uv'
移项
uv' = (uv)' - vu'
两边积分,∫ uv' dx = uv - ∫ vu' dx 得到
∫ u dv = uv - ∫ v du
上式也被称作分部积分公式


例一:求∫x cosx dx
解:
①设x为u,cosx为v
②将uv带入公式
∫x dcosx = xcosx - ∫ cosx dx


Attention!!!你可能疑惑d这个算子符号后面不应该跟x吗?
实际上,d 后可以跟任何函数,它与被积函数的关系是:
①当d后函数要变成被积函数时,要求导=》∫x dcosx = -∫sinx * x dx
②当被积函数中要变成d 后面的时候,求积分。=》-∫sinx * x dx=∫x dcosx
这一点 在分部积分和换元积分中很重要


③观察①式发现
xcosx-∫cosx dx = ∫x dcosx = -∫xsinx dx
与我们要求的∫xcosx dx不同,因为-∫xsinx dx ≠ ∫xcosx dx
所以我们要凑出我们的目标式,即使分部积分公式左边结果为目标式
那么如何使∫udv=∫xcosx dx呢?
∫xcosx dx转换为 ∫x dsinx ,对应∫udv


这时我们将v设为sinx
∫xdsinx = xsinx - ∫sinx dx = xsinx + cosx
因为∫x dsinx = ∫xcosx dx
∫xcosxdx = xsinx + cosx


注:上方斜体部分可以在熟练之后省去,在最开始的时候,就直接将∫xcosxdx转换为∫xdsinx,就可以直接设x为u,sinx为v,带入计算即可


end.
2024/7/29 12:38

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